Oficina

De acordo com a análise matemática

Para estudantes noturnos

Uau, claro

(Parte I)

Manual educativo e metodológico

Moscou, 2006

CDU 512.8:516

BBK S42

Revisores:

Candidato em Ciências Físicas e Matemáticas, Professor Associado Karolinskaya S.N. (Instituto de Aviação de Moscou em homenagem a S. Ordzhonikidze);

Ph.D., Professor Associado Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT em homenagem a M.V. Lomonosov).

Skvortsova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., Oficina de análise matemática para alunos do 1º ano noturno (Parte I), Manual pedagógico e metodológico - M.: MITHT im. M. V. Lomonosov, 2006 – 44 comprimido. 29 .

Aprovado pela Biblioteca e Comissão de Publicação do MITHT. M. V. Lomonosov como auxiliar de ensino. Pos. ___/2006.

O manual é composto por notas de 6 aulas práticas do curso de análise matemática para alunos do departamento noturno do MITHT. M. V. Lomonosov. A Parte I inclui as seguintes seções: “Função e suas propriedades básicas”, “Limite de uma função”, “Pontos de continuidade e descontinuidade de uma função”.

Cada lição é dedicada a um tópico separado. As notas para 5 aulas contêm um breve resumo da teoria relevante, exemplos típicos e problemas para solução independente (com respostas). As notas da lição nº 6 fornecem uma versão de amostra do teste (com soluções) realizado nesta lição.

O manual é destinado a estudantes noturnos de universidades de química.

© MITHT im. M. V. Lomonosova, 2006

Lição 1.

Lição 2. Sistema de coordenadas polares. Traçando gráficos de funções usando o método de deslocamento e alongamento ao longo dos eixos coordenados………………………………………….

Lição 3. Limite de função. Continuidade de função. Cálculo dos limites de funções contínuas, racionais e algumas irracionais…………......

Lição 4. O primeiro e o segundo são limites maravilhosos. Calculando os limites de uma função exponencial de potência. Infinitamente pequeno e infinitamente grande
valores……………………………………………….

Lição 5. Pontos de continuidade e pontos de descontinuidade de uma função. Classificação dos pontos de ruptura. Investigação de uma função para continuidade………………………………

Lição 6. Teste nº 1 sobre o tema “Cálculo dos limites das funções. Estudo de funções para continuidade”…………………………………………………………………….

Literatura……………………………………………….

Lição 1.

O conceito de função. Funções elementares básicas, suas propriedades e gráficos.

Definição 1. A dependência de uma variável em uma variável é chamada função, se cada valor corresponder a um único valor.

Nós escrevemos: E nós falamos, que é uma função de . Neste caso é chamado variável independente(ou argumento) e – variável dependente.

Definição 2. Domínio de Função(denotado por) são todos os valores que. Vários valores de função(denotado por) são todos os valores que.

Definição 3. A função é chamada aumentando (diminuindo) no intervalo numérico se para qualquer um de, tal que, a desigualdade é válida:

.

Definição 4. A função é chamada monótono no intervalo se ele apenas diminuir ou apenas aumentar em .

Definição 5. A função é chamada até (chance), se for simétrico em relação a zero e para qualquer um dos seguintes:

.

1) Domínio de função e intervalo de função.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de argumentos válidos x(variável x), para a qual a função y =f(x) determinado. O contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais sim, que a função aceita.

Na matemática elementar, as funções são estudadas apenas no conjunto dos números reais.

2) Zeros de função.

Função zero é o valor do argumento no qual o valor da função é igual a zero.

3) Intervalos de sinal constante de uma função.

Intervalos de sinal constante de uma função são conjuntos de valores de argumentos nos quais os valores da função são apenas positivos ou apenas negativos.

4) Monotonicidade da função.

Uma função crescente (em um determinado intervalo) é uma função em que um valor maior do argumento desse intervalo corresponde a um valor maior da função.

Uma função decrescente (em um determinado intervalo) é uma função em que um valor maior do argumento desse intervalo corresponde a um valor menor da função.

5) Função par (ímpar).

Uma função par é uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X do domínio de definição a igualdade f(-x) =f(x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação à ordenada.

Uma função ímpar é uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X do domínio de definição a igualdade é verdadeira f(-x) = -f(x). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

6) Funções limitadas e ilimitadas.

Uma função é chamada limitada se existe um número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos os valores de x. Se tal número não existir, a função é ilimitada.

7) Periodicidade da função.

Uma função f(x) é periódica se existe um número T diferente de zero tal que para qualquer x do domínio de definição da função o seguinte é válido: f(x+T) = f(x). Este menor número é chamado de período da função. Todas as funções trigonométricas são periódicas. (Fórmulas trigonométricas).

19. Funções elementares básicas, suas propriedades e gráficos. Aplicação de funções em economia.

Funções elementares básicas. Suas propriedades e gráficos

1. Função linear.

Função linear é chamada de função da forma , onde x é uma variável, a e b são números reais.

Número A chamada de inclinação da reta, é igual à tangente do ângulo de inclinação desta reta à direção positiva do eixo x. O gráfico de uma função linear é uma linha reta. É definido por dois pontos.

Propriedades de uma função linear

1. Domínio de definição - o conjunto de todos os números reais: D(y)=R

2. O conjunto de valores é o conjunto de todos os números reais: E(y)=R

3. A função assume valor zero quando ou.

4. A função aumenta (diminui) em todo o domínio de definição.

5. Uma função linear é contínua em todo o domínio de definição, diferenciável e .

2. Função quadrática.

Uma função da forma, onde x é uma variável, os coeficientes a, b, c são números reais, é chamada quadrático

Definição: Uma função numérica é uma correspondência que associa cada número x de algum conjunto com um único número y.

Designação:

onde x é a variável independente (argumento), y é a variável dependente (função). O conjunto de valores de x é chamado de domínio da função (denotado D(f)). O conjunto de valores de y é chamado de intervalo de valores da função (denotado E(f)). O gráfico de uma função é o conjunto de pontos no plano com coordenadas (x, f(x))

Métodos para especificar uma função.

1. método analítico (usando fórmula matemática);
2. método tabular (usando uma tabela);
3. método descritivo (utilizando descrição verbal);
4. método gráfico (usando um gráfico).

Propriedades básicas da função.

1. Par e ímpar

Uma função é chamada mesmo que
– o domínio de definição da função é simétrico em relação a zero
f(-x) =f(x)

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo 0a

Uma função é chamada ímpar se
– o domínio de definição da função é simétrico em relação a zero
– para qualquer x do domínio de definição f(-x) = –f(x)

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

2. Frequência

Uma função f(x) é chamada periódica com período se para qualquer x do domínio de definição f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

O gráfico de uma função periódica consiste na repetição ilimitada de fragmentos idênticos.

3. Monotonia (aumentando, diminuindo)

A função f(x) é crescente no conjunto P se para qualquer x 1 e x 2 deste conjunto tal que x 1

A função f(x) diminui no conjunto P se para qualquer x 1 e x 2 deste conjunto, tal que x 1 f(x 2) .

4. Extremos

O ponto X max é chamado de ponto máximo da função f(x) se para todo x de alguma vizinhança de X max a desigualdade f(x) f(X max) for satisfeita.

O valor Y max =f(X max) é chamado de máximo desta função.

X máx – ponto máximo
No máximo - máximo

Um ponto X min é chamado de ponto mínimo da função f(x) se para todo x de alguma vizinhança de X min, a desigualdade f(x) f(X min) é satisfeita.

O valor Y min =f(X min) é chamado de mínimo desta função.

X min – ponto mínimo
Y min – mínimo

X min, X max – pontos extremos
Y min, Y max – extremos.

5. Zeros da função

O zero de uma função y = f(x) é o valor do argumento x no qual a função se torna zero: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – zeros da função y = f(x).

Tarefas e testes sobre o tema "Propriedades básicas de uma função"

• Propriedades da Função - Funções numéricas 9º ano

  Aulas: 2 Tarefas: 11 Testes: 1

• Propriedades dos logaritmos - Funções exponenciais e logarítmicas grau 11

  Aulas: 2 Tarefas: 14 Testes: 1

• Função raiz quadrada, suas propriedades e gráfico - Função raiz quadrada. Propriedades da raiz quadrada grau 8

  Aulas: 1 Tarefas: 9 Testes: 1

• Funções - Tópicos importantes para revisão do Exame Estadual Unificado em matemática

  Tarefas: 24

• A principal propriedade de uma fração algébrica - Frações algébricas. Operações aritméticas em frações algébricas, 8ª série

  Aulas: 3 Tarefas: 11 Testes: 1

Depois de estudar este tópico, você será capaz de encontrar o domínio de definição de várias funções, determinar os intervalos de monotonicidade de uma função usando gráficos e examinar funções em busca de par e ímpar. Vamos considerar a solução de problemas semelhantes usando os exemplos a seguir.

Exemplos.

1. Encontre o domínio de definição da função.

Solução: o domínio de definição da função é encontrado a partir da condição

portanto, a função f(x) é par.

Responder: até

D(f) = [-1; 1] – simétrico em relação a zero.

portanto, a função não é par nem ímpar.

Responder: nem par nem desigual.

Este material didático é apenas para referência e está relacionado a uma ampla variedade de tópicos. O artigo fornece uma visão geral dos gráficos de funções elementares básicas e considera a questão mais importante - como construir um gráfico corretamente e RAPIDAMENTE. No decorrer do estudo de matemática superior sem conhecimento dos gráficos das funções elementares básicas, será difícil, por isso é muito importante lembrar como são os gráficos de uma parábola, hipérbole, seno, cosseno, etc. dos significados das funções. Falaremos também sobre algumas propriedades das funções principais.

Não reivindico a completude e o rigor científico dos materiais; a ênfase será colocada, em primeiro lugar, na prática - aquelas coisas com as quais encontramos literalmente a cada passo, em qualquer tópico de matemática superior. Gráficos para manequins? Alguém poderia dizer isso.

Devido a inúmeros pedidos de leitores índice clicável:

Além disso, há uma sinopse ultracurta sobre o tema
– domine 16 tipos de gráficos estudando SEIS páginas!

Sério, seis, até eu fiquei surpreso. Este resumo contém gráficos aprimorados e está disponível por uma taxa nominal; uma versão demo pode ser visualizada. É conveniente imprimir o arquivo para que os gráficos estejam sempre à mão. Obrigado por apoiar o projeto!

E vamos começar imediatamente:

Como construir eixos coordenados corretamente?

Na prática, as provas quase sempre são realizadas pelos alunos em cadernos separados, alinhados em um quadrado. Por que você precisa de marcações xadrez? Afinal, o trabalho, a princípio, pode ser feito em folhas A4. E a gaiola é necessária apenas para projetos de desenhos precisos e de alta qualidade.

Qualquer desenho de um gráfico de função começa com eixos coordenados.

Os desenhos podem ser bidimensionais ou tridimensionais.

Vamos primeiro considerar o caso bidimensional Sistema de coordenadas retangulares cartesianas:

1) Desenhe eixos coordenados. O eixo é chamado eixo x , e o eixo é eixo y . Nós sempre tentamos desenhá-los limpo e não torto. As flechas também não devem se parecer com a barba do Papa Carlo.

2) Assinamos os eixos com letras grandes “X” e “Y”. Não se esqueça de rotular os eixos.

3) Defina a escala ao longo dos eixos: desenhe um zero e dois uns. Ao fazer um desenho, a escala mais conveniente e frequentemente utilizada é: 1 unidade = 2 células (desenho à esquerda) - se possível, siga-a. Porém, de vez em quando acontece que o desenho não cabe na folha do caderno - então reduzimos a escala: 1 unidade = 1 célula (desenho à direita). É raro, mas acontece que a escala do desenho tem que ser reduzida (ou aumentada) ainda mais

NÃO HÁ NECESSIDADE de “metralhadora”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Pois o plano coordenado não é um monumento a Descartes, e o aluno não é uma pomba. Nós colocamos zero E duas unidades ao longo dos eixos. Às vezes em vez de unidades, é conveniente “marcar” outros valores, por exemplo, “dois” no eixo das abcissas e “três” no eixo das ordenadas - e este sistema (0, 2 e 3) também definirá de forma única a grade de coordenadas.

É melhor estimar as dimensões estimadas do desenho ANTES de construir o desenho. Assim, por exemplo, se a tarefa requer desenhar um triângulo com vértices , , , então é completamente claro que a escala popular de 1 unidade = 2 células não funcionará. Por que? Vejamos a questão - aqui você terá que medir quinze centímetros para baixo e, obviamente, o desenho não caberá (ou mal caberá) em uma folha de caderno. Portanto, selecionamos imediatamente uma escala menor: 1 unidade = 1 célula.

Aliás, cerca de centímetros e células de notebook. É verdade que 30 células de notebook contêm 15 centímetros? Para se divertir, meça 15 centímetros em seu caderno com uma régua. Na URSS isso pode ter sido verdade... É interessante notar que se você medir esses mesmos centímetros na horizontal e na vertical, os resultados (nas células) serão diferentes! A rigor, os notebooks modernos não são xadrez, mas sim retangulares. Isso pode parecer um absurdo, mas desenhar, por exemplo, um círculo com um compasso em tais situações é muito inconveniente. Para ser sincero, nesses momentos você começa a pensar na correção do camarada Stalin, que foi enviado a campos para hackear a produção, sem falar na indústria automobilística nacional, na queda de aviões ou na explosão de usinas de energia.

Falando em qualidade, ou uma breve recomendação sobre papelaria. Hoje, a maioria dos notebooks à venda são, para dizer o mínimo, uma porcaria completa. Porque ficam molhados, e não só com canetas de gel, mas também com canetas esferográficas! Eles economizam dinheiro no papel. Para realizar os testes, recomendo usar cadernos da Fábrica de Papel e Celulose de Arkhangelsk (18 folhas, quadradas) ou “Pyaterochka”, embora seja mais caro. É aconselhável escolher uma caneta de gel; mesmo o refil de gel chinês mais barato é muito melhor do que uma caneta esferográfica, que mancha ou rasga o papel. A única caneta esferográfica “competitiva” de que me lembro é a Erich Krause. Ela escreve de forma clara, bonita e consistente – seja com o núcleo cheio ou quase vazio.

Adicionalmente: A visão de um sistema de coordenadas retangulares através dos olhos da geometria analítica é abordada no artigo (não) dependência linear de vetores. Base de vetores, informações detalhadas sobre os trimestres de coordenadas podem ser encontradas no segundo parágrafo da lição Desigualdades lineares.

Caso 3D

É quase a mesma coisa aqui.

1) Desenhe eixos coordenados. Padrão: eixo aplicado – direcionado para cima, eixo – direcionado para a direita, eixo – direcionado para baixo para a esquerda estritamente em um ângulo de 45 graus.

2) Rotule os eixos.

3) Defina a escala ao longo dos eixos. A escala ao longo do eixo é duas vezes menor que a escala ao longo dos outros eixos. Observe também que no desenho à direita usei um "entalhe" não padrão ao longo do eixo (esta possibilidade já foi mencionada acima). Do meu ponto de vista, isso é mais preciso, rápido e esteticamente mais agradável - não há necessidade de procurar o meio da célula no microscópio e “esculpir” uma unidade próxima à origem das coordenadas.

Ao fazer um desenho 3D, novamente, dê prioridade à escala
1 unidade = 2 células (desenho à esquerda).

Para que servem todas essas regras? Regras são feitas para serem quebradas. Isso é o que farei agora. O fato é que os desenhos subsequentes do artigo serão feitos por mim no Excel, e os eixos coordenados parecerão incorretos do ponto de vista do desenho correto. Eu poderia desenhar todos os gráficos à mão, mas na verdade é assustador desenhá-los, pois o Excel reluta em desenhá-los com muito mais precisão.

Gráficos e propriedades básicas de funções elementares

Uma função linear é dada pela equação. O gráfico de funções lineares é direto. Para construir uma linha reta basta conhecer dois pontos.

Exemplo 1

Construa um gráfico da função. Vamos encontrar dois pontos. É vantajoso escolher zero como um dos pontos.

Se então

Tomemos outro ponto, por exemplo, 1.

Se então

Ao completar tarefas, as coordenadas dos pontos geralmente são resumidas em uma tabela:

E os próprios valores são calculados oralmente ou em um rascunho, uma calculadora.

Foram encontrados dois pontos, vamos fazer o desenho:

Na hora de preparar um desenho sempre assinamos os gráficos.

Seria útil recordar casos especiais de uma função linear:

Observe como coloquei as assinaturas, as assinaturas não devem permitir discrepâncias ao estudar o desenho. Nesse caso, era extremamente indesejável colocar uma assinatura próximo ao ponto de intersecção das linhas, ou no canto inferior direito entre os gráficos.

1) Uma função linear da forma () é chamada de proporcionalidade direta. Por exemplo, . Um gráfico de proporcionalidade direta sempre passa pela origem. Assim, construir uma linha reta fica simplificado - basta encontrar apenas um ponto.

2) Uma equação da forma especifica uma linha reta paralela ao eixo, em particular, o próprio eixo é dado pela equação. O gráfico da função é traçado imediatamente, sem encontrar nenhum ponto. Ou seja, o verbete deve ser entendido da seguinte forma: “o y é sempre igual a –4, para qualquer valor de x”.

3) Uma equação da forma especifica uma linha reta paralela ao eixo, em particular, o próprio eixo é dado pela equação. O gráfico da função também é traçado imediatamente. A entrada deve ser entendida da seguinte forma: “x é sempre, para qualquer valor de y, igual a 1”.

Alguns perguntarão, por que lembrar da 6ª série?! É assim, talvez seja assim, mas ao longo dos anos de prática conheci uma boa dúzia de estudantes que ficaram perplexos com a tarefa de construir um gráfico como ou.

Construir uma linha reta é a ação mais comum na hora de fazer desenhos.

A reta é discutida detalhadamente no curso de geometria analítica, e os interessados ​​​​podem consultar o artigo Equação de uma linha reta em um plano.

Gráfico de uma função quadrática cúbica, gráfico de um polinômio

Parábola. Gráfico de uma função quadrática () representa uma parábola. Considere o famoso caso:

Vamos relembrar algumas propriedades da função.

Então, a solução da nossa equação: – é neste ponto que se localiza o vértice da parábola. Por que isso acontece pode ser aprendido no artigo teórico sobre a derivada e na lição sobre os extremos da função. Enquanto isso, vamos calcular o valor “Y” correspondente:

Assim, o vértice está no ponto

Agora encontramos outros pontos, usando descaradamente a simetria da parábola. Deve-se notar que a função – não é mesmo, mas, mesmo assim, ninguém cancelou a simetria da parábola.

Em que ordem encontrar os pontos restantes, acho que ficará claro na mesa final:

Este algoritmo de construção pode ser chamado figurativamente de “lançador” ou princípio de “ida e volta” com Anfisa Chekhova.

Vamos fazer o desenho:

Dos gráficos examinados, outro recurso útil vem à mente:

Para uma função quadrática () o seguinte é verdadeiro:

Se , então os ramos da parábola são direcionados para cima.

Se , então os ramos da parábola são direcionados para baixo.

Conhecimento aprofundado sobre a curva pode ser obtido na lição Hipérbole e parábola.

Uma parábola cúbica é dada pela função. Aqui está um desenho familiar da escola:

Vamos listar as principais propriedades da função

Gráfico de uma função

Representa um dos ramos de uma parábola. Vamos fazer o desenho:

Principais propriedades da função:

Neste caso, o eixo é assíntota vertical para o gráfico de uma hipérbole em .

Seria um erro GROSSEIRO se, ao traçar um desenho, você permitisse descuidadamente que o gráfico se cruzasse com uma assíntota.

Além disso, os limites unilaterais nos dizem que a hipérbole não limitado de cima E não limitado por baixo.

Vamos examinar a função no infinito: , ou seja, se começarmos a nos mover ao longo do eixo para a esquerda (ou para a direita) até o infinito, então os “jogos” ocorrerão em um passo ordenado infinitamente perto se aproxima de zero e, consequentemente, os ramos da hipérbole infinitamente perto aproximar-se do eixo.

Então o eixo é assíntota horizontal para o gráfico de uma função, se “x” tende para mais ou menos infinito.

A função é chance, e, portanto, a hipérbole é simétrica em relação à origem. Este fato fica evidente no desenho, além disso, é facilmente verificado analiticamente: .

O gráfico de uma função da forma () representa dois ramos de uma hipérbole.

Se , então a hipérbole está localizada no primeiro e terceiro trimestres de coordenadas(veja a imagem acima).

Se , então a hipérbole está localizada no segundo e quarto trimestres de coordenadas.

O padrão indicado de residência da hipérbole é fácil de analisar do ponto de vista das transformações geométricas dos gráficos.

Exemplo 3

Construa o ramo direito da hipérbole

Usamos o método de construção pontual, e é vantajoso selecionar os valores para que sejam divisíveis por um todo:

Vamos fazer o desenho:

Não será difícil construir o ramo esquerdo da hipérbole; a estranheza da função ajudará aqui. Grosso modo, na tabela de construção pontual, adicionamos mentalmente um sinal de menos a cada número, colocamos os pontos correspondentes e desenhamos o segundo ramo.

Informações geométricas detalhadas sobre a reta considerada podem ser encontradas no artigo Hipérbole e parábola.

Gráfico de uma função exponencial

Nesta seção considerarei imediatamente a função exponencial, pois em problemas de matemática superior em 95% dos casos é a exponencial que aparece.

Deixe-me lembrar que este é um número irracional: , isso será necessário na construção de um gráfico, que, na verdade, construirei sem cerimônia. Três pontos provavelmente são suficientes:

Vamos deixar o gráfico da função de lado por enquanto, falaremos mais sobre isso mais tarde.

Principais propriedades da função:

Gráficos de funções, etc., parecem fundamentalmente iguais.

Devo dizer que o segundo caso ocorre com menos frequência na prática, mas ocorre, por isso considerei necessário incluí-lo neste artigo.

Gráfico de uma função logarítmica

Considere uma função com logaritmo natural.
Vamos fazer um desenho ponto a ponto:

Se você esqueceu o que é um logaritmo, consulte os livros escolares.

Principais propriedades da função:

Domínio:

Faixa de valores: .

A função não é limitada por cima: , embora lentamente, mas o ramo do logaritmo sobe até o infinito.
Vamos examinar o comportamento da função perto de zero à direita: . Então o eixo é assíntota vertical para o gráfico de uma função como “x” tende a zero à direita.

É imperativo conhecer e lembrar o valor típico do logaritmo: .

Em princípio, o gráfico do logaritmo na base parece o mesmo: , , (logaritmo decimal na base 10), etc. Além disso, quanto maior a base, mais plano será o gráfico.

Não consideraremos o caso; não me lembro da última vez que construí um gráfico com tal base. E o logaritmo parece ser um convidado muito raro em problemas de matemática superior.

No final deste parágrafo direi mais um fato: Função exponencial e função logarítmica– estas são duas funções mutuamente inversas. Se você olhar atentamente para o gráfico do logaritmo, verá que este é o mesmo expoente, apenas está localizado de forma um pouco diferente.

Gráficos de funções trigonométricas

Onde começa o tormento trigonométrico na escola? Certo. Do seno

Vamos traçar a função

Esta linha é chamada sinusóide.

Deixe-me lembrá-lo de que “pi” é um número irracional: e em trigonometria faz seus olhos deslumbrarem.

Principais propriedades da função:

Esta função é periódico com ponto final. O que isso significa? Vejamos o segmento. À esquerda e à direita, exatamente a mesma parte do gráfico é repetida indefinidamente.

Domínio: , ou seja, para qualquer valor de “x” existe um valor seno.

Faixa de valores: . A função é limitado: , ou seja, todos os “jogos” ficam estritamente no segmento .
Isso não acontece: ou, mais precisamente, acontece, mas essas equações não têm solução.