A regra é qual é o perímetro. Tarefa simples: como encontrar o perímetro

Certamente cada um de nós aprendeu na escola um componente tão importante da geometria como o perímetro. Encontrar o perímetro é simplesmente necessário para resolver muitos problemas. Nosso artigo lhe dirá como encontrar o perímetro.

Vale lembrar que o perímetro de qualquer figura é quase sempre a soma dos seus lados. Vejamos algumas formas geométricas diferentes.

1. Um retângulo é um quadrilátero cujos lados paralelos são iguais aos pares. Se um lado for X e o outro for Y, obteremos a seguinte fórmula para encontrar o perímetro desta figura:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Um exemplo de resolução de um problema:

   Vamos supor que o lado X = 5 cm, o lado Y = 10 cm, então, substituindo esses valores em nossa fórmula, obtemos - P = 2*5 cm + 2* 10cm = 30 cm.

2. Um trapézio é um quadrilátero cujos dois lados opostos são paralelos, mas não iguais entre si. O perímetro de um trapézio é a soma dos quatro lados:

   P = X+Y+Z+W, onde X, Y, Z, W são os lados da figura.

   Um exemplo de resolução de um problema:

   Vamos supor que lado X = 5 cm, lado Y = 10 cm, lado Z = 8 cm, lado W = 20 cm, então, substituindo esses valores em nossa fórmula, obtemos - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. O perímetro de um círculo (circunferência) pode ser calculado usando a fórmula:

   P = 2rπ = dπ, onde r é o raio do círculo, d é o diâmetro do círculo.

   Um exemplo de resolução de um problema:

   Suponhamos que o raio r do nosso círculo seja 5 cm, então o diâmetro d será igual a 2 * 5 cm = 10 cm.Sabe-se que π = 3,14. Isso significa que substituindo esses valores em nossa fórmula, obtemos - P = 2*5 cm*3,14 = 31,4 cm.

4. Se você precisar encontrar o perímetro de um triângulo, poderá encontrar vários problemas ao fazê-lo, pois os triângulos podem ter formas muito diferentes. Por exemplo, existem triângulos agudos, obtusos, isósceles, retângulos e equiláteros. Embora a fórmula para todos os tipos de triângulos seja:

   P = X+Y+Z, onde X, Y, Z são os lados da figura.

   O problema é que ao resolver muitos problemas para encontrar o perímetro desta figura, nem sempre você saberá os comprimentos de todos os lados. Por exemplo, em vez de informações sobre o comprimento de um dos lados, você pode obter o grau de um ângulo ou o comprimento da altura de um determinado triângulo. Isso complicará significativamente a tarefa, mas não tornará sua solução irreal. Você pode ler “” sobre como encontrar o perímetro de um triângulo, não importa qual seja sua forma.

5. O perímetro de uma figura como um losango é encontrado da mesma forma que o perímetro de um quadrado, porque um losango é um paralelogramo que tem lados iguais. Você pode descobrir como encontrar o perímetro de um quadrado lendo o artigo em nosso site "".

   Agora você sabe encontrar o lado do perímetro da figura geométrica que precisa!

Existem vários conceitos de perímetro.

Geométrico: todo plano fechado tem o comprimento de seus limites. E da área de segurança. Ou seja, o perímetro é a própria fronteira ou território protegido do objeto protegido. Como este tópico é da seção Educação e não da seção Direito e Segurança, devemos nos concentrar no conceito geométrico de perímetro.

Então, o que é perímetro?

Por alguma razão, esta questão confunde alguns jovens. Eles não aprenderam isso na escola? Se algumas fórmulas matemáticas (geométricas) que são dadas aos alunos nunca serão úteis na vida, então saber o que é um perímetro é simplesmente necessário, e esse conhecimento, você pode ter certeza, será muito procurado.

Qual é o perímetro da sua casa de campo? E quanto ao enredo? A área de ambos depende do perímetro. E se a sua horta, campo ou jardim tiver formato oval ou muitos cantos? Como você descobre o perímetro deles?

Primeiro você deve consultar dicionários e enciclopédias. E entenda por si mesmo o que inclui o conceito de “perímetro”.

O Grande Dicionário Enciclopédico dá a seguinte definição de perímetro: é o comprimento de um contorno fechado. A soma dos comprimentos dos lados de uma figura geométrica, por exemplo, todos os cinco lados de um pentágono.

Digamos que haja um terreno que é um pentágono. Um lado se estende por 20 metros, o outro por 16 metros, o terceiro por 4 metros, o quarto por 11 metros e o quinto por 6 metros. Qual é o perímetro do terreno? Por simples adição aritmética calculamos o perímetro do terreno: 20 + 16 + 4 + 11 + 6 = 57 metros.

O dicionário de Ushakov dá a seguinte explicação para o conceito de “perímetro”: é a soma dos comprimentos de todos os lados de uma figura plana. O que já ilustramos no exemplo acima.

E o círculo? Também é plano. Qual é o seu perímetro e como calculá-lo?

Existe uma fórmula para calcular o perímetro (comprimento) de um círculo. Mas para fazer isso, primeiro você precisa lembrar o que é um círculo e quais elementos ele possui. E um círculo é uma curva que não é apenas plana e fechada, mas também todos os seus pontos estão localizados à mesma distância de um determinado ponto, chamado centro.

O segmento de reta que conecta este centro a qualquer ponto do círculo é o raio (R).

Um segmento de reta que passa pelo centro de um círculo e conecta seus dois pontos mais distantes um do outro é o diâmetro (D). O diâmetro é igual a dois raios.

A razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é a mesma para qualquer círculo e é igual ao número constante 3, 14... Este número é denotado pela letra π (pi).

Agora podemos dar uma fórmula para calcular o perímetro (comprimento) de um círculo: P = 2πR ou π D.

Digamos que conhecemos o raio do círculo: 5 metros. Qual será o seu perímetro?

As ações aqui serão as seguintes: multiplique o diâmetro (10 metros) por 3,14 e teremos o perímetro do círculo igual a 31,4 metros.

Existem também figuras mais complexas, cujo perímetro precisa ser conhecido. Aqui, métodos de análise matemática são utilizados para calcular o perímetro, o que requer conhecimentos especiais...

Instruções

Fontes:

• como encontrar o perímetro abcd

Perímetro é a soma dos comprimentos dos lados de uma figura geométrica. Em outras palavras, se você pegar um fio e usá-lo para colocar, por exemplo, um quadrado sobre uma mesa, e depois medir o comprimento desse fio, a figura resultante será o perímetro desse quadrado. Todo mundo sabe o que é um perímetro, mas nem todos conseguem descobrir imediatamente como calculá-lo.
Existem diferentes maneiras de medir o perímetro de diferentes formas.

Instruções

Quadrado. É bem sabido que um quadrado tem 4 lados e eles são. Portanto, para calcular seu perímetro assim:

onde a é o comprimento de um lado desta figura.

Simplificando, meça um dos lados do quadrado e multiplique esse valor pelo número de lados, ou seja, por 4. No nosso caso é 16 cm (4 * 4).

Retângulo e losango. Para estas duas figuras, apenas os lados paralelos entre si são iguais, então o perímetro é determinado da seguinte forma:

onde a e b são os lados que se tocam. Assim, no nosso exemplo, o perímetro do retângulo é 24 cm (2*(8+4)).

Triângulo. Como os triângulos podem ser completamente diferentes - isósceles, irregulares, com ângulos, a única maneira correta de determinar o perímetro de tal figura é a fórmula:

Ou seja, para calcular o perímetro de um triângulo, basta medir os comprimentos dos três lados e somar os números resultantes. No nosso caso, o perímetro do triângulo é 10,7 cm (2+5+3,7).

O perímetro é chamado de circunferência, que é calculado usando uma fórmula especial:

onde d é um círculo e 3,14 é o número “pi”, que foi derivado especialmente pelos cientistas para determinar o perímetro de uma determinada figura geométrica. Nosso círculo (cm.) tem 3 cm, ou seja, o perímetro do círculo é 9,42 cm (3 * 3,14).

Fontes:

• como encontrar a circunferência de um círculo

Em geral, ohm é o comprimento da linha que limita uma figura fechada. Para polígonos, o perímetro é a soma de todos os comprimentos laterais. Este valor pode ser medido e, para muitas figuras, pode ser simplesmente calculado se os comprimentos dos elementos correspondentes forem conhecidos.

Você vai precisar

• - régua ou fita métrica;
• - fio forte;
• - telêmetro de rolo.

Instruções

Para medir um polígono arbitrário, use uma régua ou outro dispositivo de medição para medir todos os seus lados e, em seguida, encontre sua soma. Se for dado um quadrilátero com lados de 5, 3, 7 e 4 cm, medidos com uma régua, encontre o perímetro somando-os P = 5 + 3 + 7 + 4 = 19 cm.

Se a figura for arbitrária e incluir mais do que apenas linhas retas, meça seu perímetro com uma corda ou fio normal. Para isso, posicione-o de forma que siga exatamente todas as linhas que limitam a figura, e faça uma marca nele, se possível, apenas corte para evitar confusão. A seguir, com uma fita métrica ou régua, meça o comprimento do fio, será igual ao perímetro desta figura. Certifique-se de que a linha segue a linha o mais próximo possível para maior precisão do resultado.

Meça o perímetro de uma figura geométrica complexa com um telêmetro de rolo (curvímetro). Para fazer isso, um ponto é marcado na linha onde o rolo telêmetro está instalado e rolado ao longo dela até retornar ao ponto inicial. A distância medida pelo telêmetro de rolo será igual ao perímetro da figura.

Calcule o perímetro de algumas formas geométricas. Por exemplo, para encontrar o perímetro de qualquer polígono regular (um polígono convexo cujos lados), multiplique o comprimento do lado pelo número de ângulos ou lados (eles são iguais). Para encontrar o perímetro de um triângulo regular com lado de 4 cm, multiplique por 3 (P=4∙3=12 cm).

Para encontrar o perímetro, some os comprimentos de todos os seus lados. Se todos os lados não forem dados, mas seus ângulos forem, encontre-os usando o teorema do seno ou do cosseno. Se dois lados de um triângulo retângulo são conhecidos, encontre o terceiro usando o teorema de Pitágoras e encontre sua soma. Por exemplo, se for conhecido que os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 4 cm, então a hipotenusa será igual a √(3²+4²)=5 cm. Então o perímetro P=3+4+5=12 cm .

Fontes:

• perímetro

Para resolver este problema usando métodos de álgebra vetorial, você precisa conhecer os seguintes conceitos: soma geométrica vetorial e produto escalar de vetores, e também deve lembrar a propriedade da soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta;
• - governante.

Instruções

Um vetor é um segmento direcionado, ou seja, uma quantidade que é considerada totalmente especificada se forem dados seu comprimento e direção (ângulo) para um determinado eixo. A posição do vetor não é mais limitada por nada. Dois vetores com comprimentos e a mesma direção são considerados iguais. Portanto, ao usar coordenadas, os vetores são representados pelos vetores de raio dos pontos de sua extremidade (a origem está na origem das coordenadas).

Por definição: o vetor resultante de uma soma geométrica de vetores é um vetor que começa no início do primeiro e tem o fim do segundo, desde que o final do primeiro seja combinado com o início do segundo. Isso pode ser continuado, construindo uma cadeia de vetores localizados de forma semelhante.
Desenhe o ABCD dado com os vetores a, b, c e d na Fig. 1. Obviamente, com este arranjo o vetor resultante é d=a+ b+c.

Neste caso, o produto escalar é mais conveniente baseado nos vetores a e d. Produto escalar, denotado por (a, d)= |a||d|cosф1. Aqui φ1 é o ângulo entre os vetores a e d.
O produto escalar de vetores dados por coordenadas é definido pelo seguinte:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, então
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Os conceitos básicos de álgebra vetorial em relação ao problema em questão levam ao fato de que para uma formulação inequívoca deste problema, é suficiente especificar três vetores localizados, digamos, em AB, BC e CD, ou seja, a, b, c. É claro que você pode definir imediatamente os pontos A, B, C, D, mas este método é redundante (4 parâmetros em vez de 3).

Exemplo. O quadrilátero ABCD é definido pelos vetores de seus lados AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Encontre os ângulos entre seus lados.
Solução. Em conexão com o acima, 4º vetor (para AD)
d(dx,dy)=a+ b+c=(ax+bx +cx, ay+por+cy)=(1,3). Seguindo o método de cálculo do ângulo entre os vetores a
cosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/sqrt(10)).
-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ por^2))=1/sqrt2, Ф2=arcos(-1/sqrt2), Ф2=3п/ 4.
-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ por^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), Ф3=arcos(-1/sqrt(10)) =p-f1.
De acordo com a Observação 2 - ph4=2p- ph1 - ph2- ph3=p/4.

Vídeo sobre o tema

observação

Observação 1. A definição do produto escalar utiliza o ângulo entre os vetores. Aqui, por exemplo, φ2 é o ângulo entre AB e BC, e entre aeb este ângulo é n-φ2. cos(n- ph2)=- cosph2. Da mesma forma para f3.
Observação 2. Sabe-se que a soma dos ângulos de um quadrilátero é 2n. Portanto, φ4 = 2n- φ1 - φ2- φ3.

Qualquer figura geométrica convexa e plana possui uma linha que limita seu espaço interno - o perímetro. Para polígonos, consiste em segmentos individuais (lados), cuja soma dos comprimentos determina o comprimento do perímetro. A seção do plano limitada por este perímetro também pode ser expressa em termos dos comprimentos dos lados e dos ângulos nos vértices da figura. Abaixo estão as fórmulas correspondentes para um dos tipos de polígonos - um paralelogramo.

Instruções

Se o problema for dado os comprimentos de dois lados adjacentes de um paralelogramo (aeb) e o tamanho do ângulo entre eles (γ), isso será suficiente para calcular ambos os parâmetros. Para calcular o perímetro (P) de um quadrilátero, some os comprimentos dos lados e dobre o valor resultante: P = 2*(a+b). Você terá que calcular os números (S) usando a função trigonométrica - seno. Multiplique os comprimentos dos lados e multiplique o resultado pelo ângulo conhecido: S = a*b*sin(γ).

Se o comprimento de apenas um dos lados (a) do paralelogramo for conhecido, mas houver dados sobre (h) e a magnitude do ângulo (α) em qualquer um dos vértices, então o perímetro (P) ( S) também permitirá isso. A soma de todos os ângulos em qualquer um deles é igual a 360°, e em um paralelogramo aqueles que estão em vértices opostos são iguais. Portanto, para encontrar o valor do ângulo desconhecido restante, subtraia o valor conhecido de 180°. Depois disso, considere um triângulo formado por uma altura e um ângulo oposto a ela, cujos valores são conhecidos, bem como um lado ainda desconhecido. Aplique o teorema do seno a ele e descubra que o comprimento do lado será igual à razão entre a altura e o seno do ângulo oposto: h/sin(α).

Após realizar os cálculos preliminares da etapa anterior, faça os necessários. Substitua a expressão resultante na fórmula do primeiro passo e obtenha a igualdade: P = 2*(a+h/sin(α)). Caso a altura ligue dois lados opostos do paralelogramo, cujo comprimento é dado nas condições iniciais, para encontrar a área basta multiplicar estes dois valores: S=a*h. Se esta condição não for atendida, substitua na fórmula a expressão para o outro lado obtida na etapa anterior: S=a*h/sin(α).

Vídeo sobre o tema

Dentre as principais tarefas da geometria analítica, o primeiro lugar é representado pelas desigualdades geométricas, equações ou sistemas de uma forma ou de outra. Isto é possível através do uso de coordenadas. Um matemático experiente, apenas olhando para a equação, pode facilmente dizer qual figura geométrica pode ser desenhada.

Instruções

A equação F (x, y) pode ser usada para definir uma curva ou uma linha reta se duas condições forem atendidas: se as coordenadas de um ponto que não pertence à linha dada não satisfizerem a equação; se cada ponto da linha desejada com coordenadas satisfaz esta equação.

Uma equação da forma x+√(y(2r-y))=r arccos (ry)/r especifica em coordenadas cartesianas uma ciclóide - uma trajetória que é descrita por um ponto em um círculo com raio r. Neste caso, o círculo não segue o eixo das abcissas, mas rola. Que tipo de figura isso produz, veja a Figura 1.

Uma figura cujas coordenadas dos pontos são dadas pelas seguintes equações:
x=(R+r) cosφ - rcos (R+r)/r φ
y=(R+r) sinφ - rsin (R-r)/r φ,
chamado de epicicloide. É a trajetória descrita por um ponto de uma circunferência de raio r. Este círculo rola ao longo de outro círculo com raio R do lado de fora. Isso é um epicicloide, veja a Figura 2.

Perímetro é um dos termos matemáticos, ou mais precisamente, geométricos, usados ​​principalmente para calcular os lados de uma figura.

Com nosso artigo você aprenderá o que é perímetro e como ele é medido usando o exemplo de formas geométricas básicas.

Definição de perímetro

O perímetro é o comprimento total de todos os lados ou a circunferência de uma figura. O perímetro é indicado pela letra maiúscula “P” e pode ser medido em diferentes unidades de comprimento, como milímetros (mm), centímetros (cm), metros (m), etc. para encontrar o perímetro. Abaixo daremos vários exemplos de como descobrir o perímetro de um retângulo e algumas outras formas.

Medindo o perímetro

Se você precisar descobrir o perímetro de uma figura complexa (essas figuras incluem figuras com linhas irregulares), para isso você precisará de uma corda ou linha. Usando essas coisas, você precisa descrever o contorno exato da figura e, para não se confundir, pode fazer marcas na corda com um lápis. Ou você pode simplesmente cortá-lo e anexar todas as peças à régua. Assim, você descobrirá qual é o perímetro de quase qualquer figura complexa.

Existe outro dispositivo para calcular o perímetro de figuras complexas: é chamado de curvímetro (telêmetro de rolo). Com sua ajuda, você precisa colocar o rolo em qualquer ponto da figura e descrever o contorno da figura com o rolo. O número resultante será igual ao perímetro. Você pode aprender como encontrar o perímetro de outras formas geométricas em nosso artigo. Bem, falaremos sobre várias outras maneiras de alterar o perímetro para diferentes formas.

Círculo, quadrado, triângulo equilátero

Vejamos também como descobrir o perímetro de um círculo. Isso é bem simples: você só precisa determinar a circunferência, e isso pode ser feito multiplicando o raio “r” pelo número π≈3,14 e depois por 2 (P=L=2∙π∙r).

Nesta lição apresentaremos um novo conceito - o perímetro de um retângulo. Formularemos uma definição deste conceito e derivaremos uma fórmula para seu cálculo. Repetiremos também a lei combinacional da adição e a lei distributiva da multiplicação.

Nesta lição aprenderemos sobre o perímetro de um retângulo e seu cálculo.

Considere a seguinte figura geométrica (Fig. 1):

Arroz. 1. Retângulo

Esta figura é um retângulo. Vamos lembrar quais características distintivas de um retângulo conhecemos.

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos e lados iguais.

O que em nossa vida pode ter formato retangular? Por exemplo, um livro, um tampo de mesa ou um terreno.

Considere o seguinte problema:

Tarefa 1 (Fig. 2)

Os construtores precisaram colocar uma cerca ao redor do terreno. A largura desta seção é de 5 metros e o comprimento é de 10 metros. Qual comprimento de cerca os construtores obterão?

Arroz. 2. Ilustração para o problema 1

A cerca é colocada ao longo dos limites do local, portanto, para saber o comprimento da cerca, é necessário saber o comprimento de cada lado. Este retângulo tem lados iguais: 5 metros, 10 metros, 5 metros, 10 metros. Vamos criar uma expressão para calcular o comprimento da cerca: 5+10+5+10. Vamos usar a lei comutativa da adição: 5+10+5+10=5+5+10+10. Esta expressão contém somas de termos idênticos (5+5 e 10+10). Vamos substituir as somas de termos idênticos por produtos: 5+5+10+10=5·2+10·2. Agora vamos usar a lei distributiva da multiplicação relativa à adição: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Vamos encontrar o valor da expressão (5+10)·2. Primeiro realizamos a ação entre colchetes: 5+10=15. E então repetimos o número 15 duas vezes: 15·2=30.

Resposta: 30 metros.

Perímetro de um retângulo- a soma dos comprimentos de todos os seus lados. Fórmula para calcular o perímetro de um retângulo: , aqui a é o comprimento do retângulo e b é a largura do retângulo. A soma do comprimento e largura é chamada semi-perímetro. Para obter o perímetro do semiperímetro, é necessário aumentá-lo em 2 vezes, ou seja, multiplicar por 2.

Vamos usar a fórmula do perímetro de um retângulo e encontrar o perímetro de um retângulo com lados 7 cm e 3 cm: (7 + 3) 2 = 20 (cm).

O perímetro de qualquer figura é medido em unidades lineares.

Nesta lição aprendemos sobre o perímetro de um retângulo e a fórmula para calculá-lo.

O produto de um número pela soma dos números é igual à soma dos produtos do número fornecido e de cada um dos termos.

Se o perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados da figura, então o semiperímetro é a soma de um comprimento e uma largura. Encontramos o semiperímetro quando trabalhamos de acordo com a fórmula para encontrar o perímetro de um retângulo (quando realizamos a primeira ação entre parênteses - (a+b)).

Bibliografia

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1. Festival.1september.ru().
2. Nsportal.ru().
3. Math-prosto.ru().

Trabalho de casa

1. Encontre o perímetro de um retângulo cujo comprimento é 13 metros e largura é 7 metros.
2. Encontre o semiperímetro de um retângulo se seu comprimento for 8 cm e sua largura for 4 cm.
3. Encontre o perímetro de um retângulo se seu semiperímetro for 21 dm.