Корінь із тих. Калькулятор вилучення кореня n-ого ступеня. Принципи знаходження значення кореня та способи їх вилучення

Інженерний калькулятор онлайн

Поспішаємо представити всім охочим безкоштовний інженерний калькулятор. З його допомогою будь-який учень може швидко і, що найголовніше, легко виконувати різні математичні обчислення онлайн.

Простий і зручний у використанні інженерний калькулятор з ненав'язливим і зрозумілим інтерфейсом буде корисний найширшому колу користувачів мережі Інтернет. Тепер, коли вам буде необхідний калькулятор, заходьте на наш сайт та користуйтесь безкоштовним інженерним калькулятором.

Інженерному калькулятору виконати як прості арифметичні дії, так і досить складні математичні розрахунки.

Web20calc - інженерний калькулятор, який має безліч функцій, наприклад, як обчислення всіх елементарних функцій. Також калькулятор підтримує тригонометричні функції, матриці, логарифми та навіть побудова графіків.

Безперечно, Web20calc буде цікавий тій групі людей, яка в пошуку простих рішень набирає в пошукових системах запит: математичний онлайн калькулятор. Безкоштовний веб-додаток допоможе миттєво порахувати результат якогось математичного виразу, наприклад, відняти, скласти, поділити, витягти корінь, звести в ступінь і т.д.

У виразі можна скористатися операціями зведення в ступінь, додавання, віднімання, множення, поділу, відсотком, константою ПІ. Для складних обчислень слід зазначати дужки.

Можливості інженерного калькулятора:

1. основні арифметичні дії;
2. робота з цифрами у стандартному вигляді;
3. обчислення тригонометричних коренів, функцій, логарифмів, зведення до ступеня;
4. статистичні розрахунки: додавання, середнє арифметичне або середньоквадратичне відхилення;
5. застосування осередку пам'яті та користувальницьких функцій 2-х змінних;
6. робота з кутами в радіанному та градусному заходах.

Інженерний калькулятор дозволяє використовувати різноманітні математичні функції:

Вилучення коренів (корінь квадратний, кубічний, а також корінь n-ого ступеня);
ex (e x ступеня), експонента;
тригонометричні функції: синус – sin, косинус – cos, тангенс – tan;
зворотні тригонометричні функції: арксинус – sin-1, арккосинус – cos-1, арктангенс – tan-1;
гіперболічні функції: синус – sinh, косинус – cosh, тангенс – tanh;
логарифми: двійковий логарифм на основі два - log2x, десятковий логарифм на основі десяти - log, натуральний логарифм – ln.

Цей інженерний калькулятор також включає калькулятор величин з можливістю конвертування фізичних величин для різних систем вимірювань – комп'ютерні одиниці, відстань, вага, час і т.д. За допомогою цієї функції можна миттєво провести переведення миль в кілометри, фунтів в кілограми, секунди в години і т.д.

Щоб зробити математичні розрахунки, для початку введіть послідовність математичних виразів у відповідне поле, потім натисніть на знак рівності і бачте результат. Можна вводити значення прямо з клавіатури (для цього область калькулятора має бути активною, отже, не зайвим буде поставити курсор у поле введення). Крім того, дані можна вносити за допомогою кнопок самого калькулятора.

Для побудови графіків у полі введення слід записати функцію так, як зазначено в полі з прикладами або скористайтеся спеціально призначеною для цього панеллю інструментів (щоб у неї перейти натисніть кнопку з іконкою у вигляді графіка). Для конвертації величин натисніть Unit, проведення робіт з матрицями – Matrix.

Розміщений на нашому сайті. Вилучення кореня з-поміж часто використовується в різних розрахунках, а наш калькулятор - це відмінний інструмент для подібних математичних обчислень.

Онлайн калькулятор з корінням дозволить швидко і просто зробити будь-які розрахунки, що містять вилучення кореня. Корінь третього ступеня вважатиме також легко, як і квадратний корінь із числа, корінь із негативного числа, корінь із комплексного числа, корінь із числа пі і т.д.

Обчислення кореня у складі можливо вручну. Якщо є можливість обчислити цілий корінь числа, то знаходимо значення підкореного виразу по таблиці коренів. В інших випадках наближене обчислення коренів зводиться до розкладання підкореного виразу на добуток простих множників, які є ступенями і їх можна забрати за знак кореня, максимально спрощуючи вираз під коренем.

Але не варто використати таке рішення кореня. І ось чому. По-перше, доведеться витратити багато часу на подібні розрахунки. Числа докорінно, а точніше сказати, вирази можуть бути досить складними, а ступінь не обов'язково квадратичний або кубічний. По-друге, не завжди влаштовує точність таких обчислень. І, по-третє, є онлайн калькулятор коріння, який зробить за вас будь-яке вилучення кореня за лічені секунди.

Витягти корінь із числа — означає знайти таке число, яке за його зведенні у ступінь n дорівнюватиме значення підкореного виразу, де n — це ступінь кореня, а саме число — основа кореня. Корінь 2 ступеня називають простим або квадратним, а корінь третього ступеня - кубічним, опускаючи в обох випадках вказівку ступеня.

Рішення коренів в онлайн калькуляторі зводиться лише написання математичного висловлювання у рядку введення. Вилучення з кореня в калькуляторі позначається як sqrt і виконується за допомогою трьох клавіш - вилучення квадратного кореня sqrt(x), витяг коріння кубічного sqrt3(x) і вилучення кореня n ступеня sqrt(x,y). Більш детальна інформація про панель керування представлена ​​на сторінці.

Вилучення квадратного кореня

Натискання цієї кнопки вставить у рядку введення запис вилучення з квадратного кореня: sqrt(x), потрібно лише внести підкорене вираз і закрити дужку.

Приклад розв'язання квадратного коріння в калькуляторі:

Якщо під коренем негативне число, а ступінь кореня парна, то відповідь буде представлена ​​у вигляді комплексного числа з уявною одиницею i.

Квадратний корінь із негативного числа:

Корінь третього ступеня

Використовуйте цю клавішу, коли потрібно вийняти кубічний корінь. Вона вставляє у рядку введення запису sqrt3(x).

Корінь 3 ступеня:

Корінь ступеня n

Звичайно, онлайн калькулятор коренів дозволяє видобувати не тільки квадратний і кубічний корінь з числа, але також корінь ступеня n. Натискання цієї кнопки виведе запис типу sqrt(x x,y).

Корінь 4 ступеня:

Точний корінь n ступеня з числа можна отримати лише, якщо саме число є точним значенням ступеня n. А якщо ні, то розрахунок вийде приблизним, хоча і дуже близьким до ідеалу, так як точність обчислень онлайн калькулятора досягає 14 знаків після коми.

Корінь 5 ступеня із приблизним результатом:

Корінь із дробу

Обчислити корінь калькулятор може з різних чисел та виразів. Знаходження кореня дробу зводиться до окремого вилучення кореня з чисельника та знаменника.

Квадратний корінь із дробу:

Корінь з кореня

У випадках коли корінь виразу знаходиться під коренем, за якістю коренів їх можна замінити одним коренем, ступінь якого дорівнюватиме добутку ступенів обох. Простіше кажучи, щоб витягти корінь, досить перемножити показники коренів. У наведеному малюнку прикладі вираз корінь третього ступеня кореня другого ступеня можна замінити одним коренем 6-го ступеня. Вказуйте вираз так, як вам зручно. Калькулятор у будь-якому випадку все розрахує правильно.

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n / b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.

Корінь n-го ступеня з числа x - це таке невід'ємне число z, яке при зведенні в n-ну міру перетворюється на x. Визначення кореня входить до списку основних арифметичних операцій, з якими ми знайомимося ще у дитинстві.

Математичне позначення

«Корінь» походить від латинського слова radix і сьогодні слово «радикал» використовується як синонім даного математичного терміна. З 13 століття математики позначали операцію вилучення кореня буквою r з горизонтальною рисою над підкореним виразом. У 16-му столітті було введено позначення V, яке поступово витіснило знак r, проте горизонтальна межа збереглася. Його легко набирати в друкарні або писати від руки, але в електронних виданнях та програмуванні поширилося буквене позначення кореня - sqrt. Саме так ми і позначатимемо квадратне коріння в даній статті.

Квадратний корінь

Квадратним радикалом числа x називається таке число z, яке при множенні на себе перетворюється на x. Наприклад, якщо ми помножимо 2 на 2, то отримаємо 4. Двійка в цьому випадку є квадратний корінь з чотирьох. Помножимо 5 на 5, отримаємо 25 і ми вже знаємо значення виразу sqrt(25). Ми можемо помножити і - 12 на -12 і отримати 144, а радикалом 144 буде як 12, так і -12. Очевидно, що квадратне коріння може бути як позитивним, так і негативним числом.

Своєрідний дуалізм такого коріння важливий для вирішення квадратних рівнянь, тому при пошуку відповідей у ​​таких завданнях потрібно вказувати обидва корені. При вирішенні алгебраїчних виразів використовуються арифметичні квадратні корені, тобто тільки їх позитивні значення.

Числа, квадратні коріння яких є цілими, називаються ідеальними квадратами. Існує ціла послідовність таких чисел, початок якої виглядає як:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Квадратне коріння інших чисел є ірраціональними числами. Наприклад, sqrt(3) = 1,73205080757... і таке інше. Це число нескінченно і не періодично, що викликає певні труднощі при обчисленні таких радикалів.

Шкільний курс математики стверджує, що не можна витягувати квадратне коріння з негативних чисел. Як ми дізнаємося у вузівському курсі матаналізу, робити це можна і потрібно – для цього потрібні комплексні числа. Однак наша програма розрахована для отримання дійсних значень коренів, тому вона не обчислює радикали парного ступеня негативних чисел.

Кубічний корінь

Кубічний радикал числа x - це таке число z, яке при множенні він тричі дає число x. Наприклад, якщо ми помножимо 2×2×2, то отримаємо 8. Отже, двійка є кубічним коренем восьми. Помножимо три рази на себе четвірку і отримаємо 4×4×4 = 64. Очевидно, що четвірка є кубічним коренем для числа 64. Існує нескінченна послідовність чисел, кубічні радикали яких є цілими. Її початок виглядає як:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Для решти чисел кубічні корені є ірраціональними числами. На відміну від квадратних радикалів, кубічні корені, як і будь-яке непарне коріння, можна витягувати з негативних чисел. Вся справа у творі чисел менша за нуль. Мінус на мінус дає плюс - відоме зі шкільної лави правило. А мінус на плюс – дає мінус. Якщо перемножувати негативні числа непарне кількість разів, результат буде також негативним, отже, витягти непарний радикал з негативного числа нам нічого не заважає.

Однак програма калькулятора працює інакше. По суті, витяг кореня – це зведення у зворотний ступінь. Квадратний корінь сприймається як зведення ступінь 1/2, а кубічний – 1/3. Формулу зведення у ступінь 1/3 можна переінакшити та виразити як 2/6. Результат той самий, але витягувати такий корінь з негативного числа не можна. Таким чином, наш калькулятор обчислює арифметичні корені лише з позитивних чисел.

Корінь n-ного ступеня

Такий хитромудрий спосіб обчислення радикалів дозволяє визначати коріння будь-якого ступеня з будь-якого виразу. Ви можете отримати корінь п'ятого ступеня з куба числа або радикал 19 ступеня з числа в 12 ступеня. Все це елегантно реалізовано у вигляді зведення у ступені 3/5 або 12/19 відповідно.

Розглянемо приклад

Діагональ квадрата

Ірраціональність діагоналі квадрата була відома ще давніми греками. Вони зіштовхнулися із проблемою обчислення діагоналі плоского квадрата, оскільки її довжина завжди пропорційна кореню із двох. Формула для визначення довжини діагоналі виводиться з і в кінцевому підсумку набуває вигляду:

d = a x sqrt (2).

Давайте визначимо квадратний радикал із двох за допомогою нашого калькулятора. Введемо в комірку «Число(x)» значення 2, а «Ступінь(n)» також 2. У результаті отримаємо вираз sqrt(2) = 1,4142. Таким чином, для грубої оцінки діагоналі квадрата достатньо помножити його сторону на 1,4142.

Висновок

Пошук радикала – стандартна арифметична операція, без якої не обходяться наукові чи конструкторські обчислення. Звичайно, нам немає потреби визначати коріння для вирішення побутових завдань, але наш онлайн-калькулятор знадобиться школярам або студентам для перевірки домашніх завдань з алгебри або математичного аналізу.

Настав час розібрати способи вилучення коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яка справедлива для будь-якого невід'ємного числа b.

Нижче по черзі розглянемо основні способи вилучення коренів.

Почнемо з найпростішого випадку – із вилучення коренів із натуральних чисел із використанням таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.

Якщо ж таблиці квадратів, кубів тощо. немає під руками, то логічно скористатися способом вилучення кореня, який має на увазі розкладання підкореного числа на прості множники.

Окремо варто зупинитися на те, що можливо для коріння з непарними показниками.

Нарешті розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно знаходити розряди значення кореня.

Приступимо.

Використання таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.

У найпростіших випадках добувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів і т.д. Що ж є ці таблиці?

Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) і двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому фоні, вона за допомогою вибору певного рядка і стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99 . Наприклад виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим зафіксували число 83 . Друга зона займає частину таблиці, що залишилася. Кожна її комірка знаходиться на перетині певного рядка та певного стовпця, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99 . На перетині вибраного нами рядка 8 десятків і стовпця 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6889 , яке є квадратом числа 83 .

Таблиці кубів, таблиці четвертих ступенів чисел від 0 до 99 тощо аналогічні таблиці квадратів, лише вони у другій зоні містять куби, четверті ступеня тощо. відповідних чисел.

Таблиці квадратів, кубів, четвертих ступенів тощо. дозволяють витягувати квадратне коріння, кубічне коріння, коріння четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що у цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування під час вилучення коренів.

Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-ого ступеня з числа a, при цьому число a міститься в таблиці n-их ступенів. По цій таблиці знаходимо число b таке, що a = b n. Тоді , Отже, число b буде шуканим коренем n-го ступеня.

Як приклад покажемо, як з допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19683 . Знаходимо число 19683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27 , отже, .

Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при витягуванні коріння. Однак їх часто не виявляється під руками, а їх складання потребує певного часу. Більше того, часто доводиться витягувати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів коріння.

Розкладання підкореного числа на прості множники

Досить зручним способом, що дозволяє провести вилучення кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується), є розкладання підкореного числа на прості множники. Його суть полягає в наступному: після його досить легко подати у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.

Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення дорівнює b. І тут правильна рівність a=b n . Число b як будь-яке натуральне число можна представити у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1 , p 2 , …, p m у вигляді p 1 2 · ... · p m) n . Так як розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання підкореного числа a на прості множники буде мати вигляд (p 1 p 2 pm) n , що дає можливість обчислити значення кореня як .

Зауважимо, що й розкладання на прості множники підкореного числа a може бути представлено як (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корінь n -ой ступеня з такого числа a націло не витягується.

Розберемося з цим під час вирішення прикладів.

приклад.

Вийміть квадратний корінь із 144 .

Рішення.

Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то видно, що 144=12 2 , звідки зрозуміло, що квадратний корінь зі 144 дорівнює 12 .

Але у світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання підкореного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб розв'язання.

Розкладемо 144 на прості множники:

Тобто, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 . На підставі отриманого розкладання можна провести такі перетворення: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Отже, .

Використовуючи властивості ступеня і коріння , рішення можна було оформити і трохи інакше: .

Відповідь:

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.

приклад.

Обчисліть значення кореня.

Рішення.

Розкладання на прості множники підкореного числа 243 має вигляд 243 = 35. Таким чином, .

Відповідь:

приклад.

Чи є значення кореня цілим числом?

Рішення.

Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкорене число на прості множники і подивимося, чи представимо воно у вигляді куба цілого числа.

Маємо 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 . Отримане розкладання не представляється як куба цілого числа, оскільки ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь із числа 285768 не витягується націло.

Відповідь:

Ні.

Вилучення коренів із дробових чисел

Настав час розібратися, як витягується корінь із дробового числа. Нехай дробове підкорене число записане як p/q . Відповідно до властивості кореня з частки справедлива наступна рівність. З цієї рівності випливає правило вилучення кореня з дробу: корінь із дробу дорівнює частці від поділу кореня з чисельника на корінь із знаменника.

Розберемо приклад вилучення кореня з дробу.

приклад.

Чому дорівнює квадратний корінь зі звичайного дробу 25/169?

Рішення.

За таблицею квадратів знаходимо, що квадратний корінь із чисельника вихідного дробу дорівнює 5 , а квадратний корінь із знаменника дорівнює 13 . Тоді . На цьому витяг кореня зі звичайного дробу 25/169 завершено.

Відповідь:

Корінь із десяткового дробу чи змішаного числа витягується після заміни підкорених чисел звичайними дробами.

приклад.

Вийміть кубічний корінь із десяткового дробу 474,552 .

Рішення.

Представимо вихідний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 = 474552/1000. Тоді . Залишилося витягти кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманого дробу. Так як 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2·3·13) 3 =78 3 і 1000=10 3 то і . Залишилося лише завершити обчислення .

Відповідь:

.

Вилучення кореня з негативного числа

Окремо варто зупинитися на добуванні коріння з негативних чисел. При вивченні коренів сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може бути негативне число. Таким записам ми надали наступного змісту: для негативного числа −a та непарного показника кореня 2·n−1 справедливо . Ця рівність дає правило вилучення коренів непарного ступеня з негативних чисел: щоб витягти корінь із негативного числа потрібно витягти корінь із протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть значення кореня.

Рішення.

Перетворимо вихідний вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: . Тепер змішане число замінимо звичайним дробом: . Застосовуємо правило вилучення кореня зі звичайного дробу: . Залишилося обчислити коріння в чисельнику та знаменнику отриманого дробу: .

Наведемо короткий запис рішення: .

Відповідь:

.

Поразрядне знаходження значення кореня

У загальному випадку під коренем знаходиться число, яке за допомогою розібраних вище прийомів не вдається подати у вигляді n-ого ступеня якогось числа. Але при цьому буває необхідність знати значення цього кореня, хоча б з точністю до певного знака. У цьому випадку для отримання кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.

На першому етапі даного алгоритму необхідно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться в ступінь n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевищує підкорене число. Тоді число, яке ми зводили на ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.

Наприклад розглянемо цей крок алгоритму під час вилучення квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, … і зводимо їх у квадрат, доки отримаємо число, що перевищує 5 . Маємо 02 = 0<5 , 10 2 =100>5 , Отже, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.

Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи зі старшого та просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня першому кроці виходить 2 , другому – 2,2 , третьому – 2,23 , тощо 2,236067977… . Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.

Знаходження розрядів проводиться з допомогою перебору їх можливих значень 0, 1, 2, …, 9 . При цьому паралельно обчислюються n -і ступені відповідних чисел, і вони порівнюються з підкореним числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкорене число, то значення розряду, що відповідає попередньому значенню, вважається знайденим, і здійснюється перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9 .

Пояснимо ці моменти на тому ж прикладі вилучення квадратного кореня з п'яти.

Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Перебиратимемо значення 0, 1, 2, …, 9 , обчислюючи відповідно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 доти, доки отримаємо значення, більше підкореного числа 5 . Всі ці обчислення зручно подавати у вигляді таблиці:

Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (оскільки 2 2<5 , а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9, порівнюючи отримані значення з підкореним числом 5:

Оскільки 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5 , то значення розряду десятих дорівнює 2 . Можна перейти до знаходження значення розряду сотих:

Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закріплення матеріалу розберемо витяг кореня з точністю до сотих за допомогою розглянутого алгоритму.

Спочатку визначаємо старший розряд. Для цього зводимо до куба числа 0, 10, 100 і т.д. доки отримаємо число, що перевищує 2 151,186 . Маємо 03 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.

Визначимо його значення.

Оскільки 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 то значення розряду десятків дорівнює 1 . Переходимо до одиниць.

Отже, значення розряду одиниць дорівнює 2 . Переходимо до десятої.

Оскільки навіть 12,9 3 менше підкореного числа 2 151,186 , то значення розряду десятих дорівнює 9 . Залишилося виконати останній крок алгоритму, він нам дасть значення кореня з необхідною точністю.

На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: .

На закінчення цієї статті хочеться сказати, що є безліч інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.

Список літератури.

• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).